Question

12．在一個特定時段內(nèi)，以點E為中心的7海里以內(nèi)海域被設為警戒水域．點E正北55海里處有一個雷達觀測站A．某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距40$\sqrt{2}$海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東45°+θ（其中sinθ=$\frac{\sqrt{26}}{26}$，0°＜θ＜90°）且與點A相距10$\sqrt{13}$海里的位置C．
（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；
（2）若該船不改變航行方向，當它行使到A的正南方向時，求該船與觀測站A的距離；不改變航向繼續(xù)航行，判斷它是否會進入警戒水域，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得cosθ的值，進而令余弦定理求得BC，除以時間即可求得速度．
（2）建立坐標系，分別求得x₂，y₂，進而求得過直線B，C的直線l的斜率，求得直線l的方程．進而求得點E到直線的距離判斷與7的大小關系．

解答 解：（1）如圖，AB=40$\sqrt{2}$，AC=10$\sqrt{13}$，∠BAC=θ，sinθ=$\frac{\sqrt{26}}{26}$，
由于°＜θ＜90°，
所以cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{26}}{26}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{26}}{26}$
由余弦定理得BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•AC•cosθ}$=10$\sqrt{5}$
所以船的行駛速度為$\frac{10\sqrt{5}}{\frac{2}{3}}$=15$\sqrt{5}$（海里/小時）；
（2）如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，設點B、C的坐標分別是B（x₁，y₁），C（x₁，y₂），BC與x軸的交點為D
由題設有x₁=y₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=40
x₂=ACcos∠CAD=10$\sqrt{13}$cos（45°-θ）=30，
y₂=ACsin∠CAD=10$\sqrt{13}$（45°-θ）=20
所以過點B、C的直線l的斜率k=$\frac{20}{10}$=2，
直線l的方程為y=2x-40
又點E（0，-55）到直線l的距離d=$\frac{|0+55-40|}{\sqrt{1+4}}$=3$\sqrt{5}$＜7，
所以船會進入警戒水域．

點評 本題主要考查了解三角形問題的實際應用．建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為幾何知識來解決．