Question

19．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2的等邊三角形，AA₁⊥底面ABC，點E，F(xiàn)分別是棱CC₁，BB₁上的點，且EC=B₁F=2FB．
（1）證明：平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（2）若AA₁=3，求點E到平面ACF的距離．

Answer 1

分析 （1）取AC中點M，連接BM，則BM⊥AC，從而BM⊥平面ACC₁A₁．取AE中點N，連接MN，F(xiàn)N，則MN∥EC，推導(dǎo)出四邊形BMNF是平行四邊形，由此能證明平面AEF⊥平面ACC₁A₁．
（2）連接MF，由AC⊥平面BMNF，得AC⊥MF，設(shè)點E到平面ACF的距離為h，由V_E-ACF=V_F-ACE，能求出點E到平面ACF的距離．

解答 證明：（1）取AC中點M，連接BM，則BM⊥AC，因為AA₁⊥底面ABC，
所以側(cè)面ACC₁A₁⊥底面ABC，所以BM⊥平面ACC₁A₁．
取AE中點N，連接MN，F(xiàn)N，則MN∥EC，且$MN=\frac{1}{2}EC$，
又因為BB₁∥CC₁，EC=2FB，所以FB∥EC且$FB=\frac{1}{2}EC$，
所以MN∥FB且MN=FB，所以四邊形BMNF是平行四邊形，
所以FN∥BM，所以FN⊥平面ACC₁A₁．又FN?平面AEF，
所以平面AEF⊥平面ACC₁A₁． …（6分）
解：（2）由（1）可知，F(xiàn)N⊥平面ACE，連接MF，由AC⊥平面BMNF得AC⊥MF，
因為AA₁=3，依題意得$MF=\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}+{1^2}}=2$，所以${S_{△ACF}}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
設(shè)點E到平面ACF的距離為h，由V_E-ACF=V_F-ACE，得$\frac{1}{3}{S_{△ACF}}•h=\frac{1}{3}{S_{△ACE}}•FN$，
即$2h=\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}$，所以$h=\sqrt{3}$
故點E到平面ACF的距離為$\sqrt{3}$．    …（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運用．