Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

3

）+cos²（

π

2

+x）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，且f（

c

2

）=-

1

4

，邊c=2，∠C為銳角，△ABC的內(nèi)切圓半徑為

3

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）函數(shù)解析式利用誘導(dǎo)公式變形，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后得到一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定出f（x）的得到遞增區(qū)間；
（2）由f（

C

2

）=-

1

4

，求出C的度數(shù)，再由c的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，記作①，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，記作②，聯(lián)立①②求出a+b的值，即可確定出三角形ABC的面積．

解答： 解：（1）f（x）=cos（2x+

π

3

）+cos²（

π

2

+x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x，
由2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z）；
（2）∵f（

C

2

）=-

1

4

，
∴f（

C

2

）=

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

，即

3

2

sinC=

3

4

，
∴sinC=

3

2

，
∵∠C為銳角，
∴C=

π

3

．
∵c=2，
∴由余弦定理得c²=a²+b²-2abcos

π

3

=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=4①，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

（a+b+c）r，r為內(nèi)切圓半徑，
∴

3

2

ab=

3

3

（a+b+2），
整理得：3ab=2（a+b+2）②，
②代入①得：（a+b）²-2（a+b）-8=0，
即（a+b-4）（a+b+2）=0，
解得：a+b=4或a+b=-2（舍去），
則S_△ABC=

1

2

×（4+2）×

3

3

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．