Question

18．已知兩點(diǎn)A（4，10），B（8，6），動(dòng)點(diǎn)P在圓C：（x-3）²+（y-2）²=5上，求|PA|²+|PB|²的最值．

Answer 1

分析 用x，y表示出|PA|²+|PB|²，根據(jù)x，y的關(guān)系消去二次項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃解決問題．

解答 解：設(shè)P（x，y），則（x-3）²+（y-2）²=5，
∴x²+y²-6x-4y+8=0，
∴x²+y²=6x+4y-8．
∴|PA|²+|PB|²=（x-4）²+（y-10）²+（x-8）²+（y-6）²=2x²+2y²-24x-32y+216=-12x-24y+200，
令z=-12x-24y+200，則12x+24y+z-200=0，
∴當(dāng)直線12x+24y+z-200=0與圓C相切時(shí)，z取得最大值和最小值．
此時(shí)圓C的圓心到直線的距離d=$\sqrt{5}$．
∴$\frac{|z-116|}{\sqrt{1{2}^{2}+2{4}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，解得z=176或z=56．
∴|PA|²+|PB|²的最大值為176，最小值為56．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，屬于中檔題．