Question

17．已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸的距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）若以F為圓心的圓與直線4x+3y+1=0相切，過點F任作直線l交曲線C于A，B兩點，由點A，B分別向圓F引一條切線，切點分別為P，Q，記α=∠PAF，β=∠QBF，求證：sinα+sinβ是定值．

Answer 1

分析 （1）拋物線的定義，即可求曲線C的方程；
（2）對直線l的斜率分存在和不存在兩種情況：把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義即可得出．

解答 解：（1）∵一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸的距離的差都是1，
∴點的軌跡是以F為焦點，x=-1為準線的拋物線，
∴點M的軌跡C的方程為y²=4x（x≠0）；
（2）當l不與x軸垂直時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
代入拋物線方程，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
∴sinα+sinβ=$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}{+x}_{2}+1}$=1．
當l與x軸垂直時，也可得sinα+sinβ=1，
綜上，有sinα+sinβ=1．

點評 熟練掌握直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立并利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義是解題的關(guān)鍵．