Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)為F₁、F₂，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，過F₂的直線l交C與A、B兩點(diǎn)，若△AF₁B的周長(zhǎng)為$8\sqrt{3}$，則C的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1

Answer 1

分析 由△AF₁B的周長(zhǎng)為$8\sqrt{3}$，4a=$8\sqrt{3}$，求得a=2$\sqrt{3}$，根據(jù)橢圓的離心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得c=2，有b²=a²-c²，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：由橢圓的性質(zhì)可知：4a=$8\sqrt{3}$，即a=2$\sqrt{3}$，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，c=2，
b²=a²-c²=12-4=8，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題，