Question

14．已知中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），離心率為$\frac{1}{2}$，過直線l：x=4上一點M引橢圓E的兩條切線，切點分別是A、B．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的任一點N（x₀，y₀）處的切線方程是$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$=1．求證：直線AB恒過定點C，并求出定點C的坐標；
（3）是否存在實數(shù)λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（點C為直線AB恒過的定點）若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過將點P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入橢圓方程，利用$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$及b²+c²=a²，計算即得結論；
（2）通過分別將點M的坐標（4，t）代入切線方程，利用兩點確定唯一的一條直線，即得結論；
（3）通過將直線AB的方程代入橢圓方程，利用韋達定理計算$\frac{1}{|AC|}$+$\frac{1}{|BC|}$即可．

解答 解：（1）由橢圓E過點P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），可得$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4^{2}}$=1，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b²+c²=a²，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓E方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設切點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上一點M的坐標（4，t），
則切線方程分別為：$\frac{{x}_{1}x}{4}+\frac{{y}_{1}y}{3}=1$、$\frac{{x}_{2}x}{4}+\frac{{y}_{2}y}{3}=1$，
又∵兩切線均過點M，∴${x}_{1}+\frac{t}{3}{y}_{1}=1$、${x}_{2}+\frac{t}{3}{y}_{2}=1$，
即點A、B的坐標都適合方程$x+\frac{t}{3}y=1$，而兩點確定唯一的一條直線，
故直線AB的方程是$x+\frac{t}{3}y=1$，
顯然對任意實數(shù)t，點（1，0）都適合這個方程，
∴直線AB恒過定點C（1，0）；
（3）結論：存在實數(shù)$λ=\frac{4}{3}$，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立．
理由如下：
將直線AB的方程$x+\frac{t}{3}y=1$代入橢圓方程，
得：$3（-\frac{t}{3}y+1）^{2}+4{y}^{2}-12=0$，即$（\frac{{t}^{2}}{3}+4）{y}^{2}-2ty-9=0$，
由韋達定理可得：y₁+y₂=$\frac{6t}{12+{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{27}{12+{t}^{2}}$，
不妨設y₁＞0，y₂＜0，
∵|AC|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{（1+\frac{{t}^{2}}{9}）{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{9+{t}^{2}}}{3}$y₁，同理|BC|=-$\frac{\sqrt{9+{t}^{2}}}{3}$y₂，
∴$\frac{1}{|AC|}$+$\frac{1}{|BC|}$=$\frac{3}{\sqrt{9+{t}^{2}}}$（$\frac{1}{{y}_{1}}$-$\frac{1}{{y}_{2}}$）=$\frac{3}{\sqrt{9+{t}^{2}}}$•$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-$\frac{3}{\sqrt{9+{t}^{2}}}$•$\frac{\sqrt{（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}}{{y}_{1}{y}_{2}}$
=-$\frac{3}{\sqrt{9+{t}^{2}}}$•$\frac{\sqrt{（\frac{6t}{12+{t}^{2}}）^{2}+\frac{108}{12+{t}^{2}}}}{\frac{-27}{12+{t}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{9+{t}^{2}}}$•$\frac{\sqrt{144{t}^{2}+9×144}}{9}$=$\frac{4}{3}$，
即|AC|+|BC|=$\frac{4}{3}$|AC|•|BC|，
故存在實數(shù)$λ=\frac{4}{3}$，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．