Question

2．若實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{x+2y≥3}\\{2x+y≥3}\end{array}\right.$，則x²+5y²的取值范圍為[5，45]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)x²+5y²=z，利用橢圓的方程和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)x²+5y²=z，則z＞0，
即$\frac{{x}^{2}}{z}+\frac{{y}^{2}}{\frac{z}{5}}=1$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由圖象知，當(dāng)橢圓經(jīng)過C（0，3）時，z最大，
此時z=5×3²=5×9=45，
當(dāng)橢圓與直線AB：x+2y=3相切時，z最小，
將x+2y=3代入x²+5y²=z消去x得9y²-12y+9-z=0，
由判別式△=0得144-4×9（9-z）=0，
即4=9-z，
解得z=5，
故5≤z≤45，
故x²+5y²的取值范圍為是[5，45]，
故答案為：[5，45]

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用橢圓的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．