Question

19．如圖，已知A₁，A₂，B₁，B₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的四個(gè)頂點(diǎn)，△A₁B₁B₂的外接圓為圓M，橢圓C過點(diǎn)（-1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求橢圓C及圓M的方程；
（2）若點(diǎn)D是圓M劣弧$\widehat{{A}_{1}{B}_{2}}$上一動點(diǎn)（點(diǎn)D異于端點(diǎn)A₁，B₂），直線B₁D分別交線段A₁B₂，橢圓C于點(diǎn)E，G，直線B₂G與A₁B₁交于點(diǎn)F．
（i）求$\frac{G{B}_{1}}{E{B}_{1}}$的最大值；
（ii）E，F(xiàn)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知條件橢圓C過點(diǎn)（-1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），代入，可得a，b，即可求出橢圓C的方程，由此能求出圓M的方程．
（2）（i）設(shè)直線B₁D的方程為y=kx-1，與直線A₁B₂的方程y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1聯(lián)立，解得點(diǎn)E，聯(lián)立y=kx-1與橢圓，消去y，解得點(diǎn)，由此能求出$\frac{G{B}_{1}}{E{B}_{1}}$的最大值．
（ii）直線B₂G的方程為y=-$\frac{1}{3k}$x+1，與直線A₁B₁的方程y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1聯(lián)立，解得點(diǎn)F，由此能求出E、F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為定值．

解答 解：（1）因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)（-1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{6}{9}}{^{2}}=1}\\{\frac{\frac{9}{4}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
∴a=$\sqrt{3}$，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
圓心M（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），半徑A₁M=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴圓M的方程為（x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²+y²=$\frac{4}{3}$．…（4分）
（2）（i）設(shè)直線B₁D的方程為y=kx-1，k＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
與直線A₁B₂的方程y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1聯(lián)立，解得點(diǎn)E（$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}k-1}$，$\frac{\sqrt{3}k+1}{\sqrt{3}k-1}$），…（6分）
聯(lián)立y=kx-1與橢圓，消去y并整理得，（1+3k²）x²-6kx=0，
解得點(diǎn)G（$\frac{6k}{3{k}^{2}+1}$，$\frac{3{k}^{2}-1}{3{k}^{2}+1}$），…（9分）
$\frac{G{B}_{1}}{E{B}_{1}}$=$\frac{|{x}_{G}|}{|{x}_{E}|}$=1-$\frac{\sqrt{3}k+1}{3{k}^{2}+1}$
=1+$\frac{1}{-（\sqrt{3}k+1）+\frac{2}{-（\sqrt{3}k+1）}+2}$
≤1+$\frac{1}{2\sqrt{2}+2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)k=-$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}$時(shí)，取“=”，
∴$\frac{G{B}_{1}}{E{B}_{1}}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．…（12分）
（ii）直線B₂G的方程為y=-$\frac{1}{3k}$x+1，
與直線A₁B₁的方程y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1聯(lián)立，
解得點(diǎn)F（$\frac{-6k}{\sqrt{3}k-1}$，$\frac{\sqrt{3}k+1}{\sqrt{3}k-1}$），…（14分）
∴E、F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}k-1}+\frac{-6k}{\sqrt{3}k-1}$=-2$\sqrt{3}$．
故E、F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為定值，該定值為-2$\sqrt{3}$．…（16）

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程及圓的方程的求法，考查兩條線段比值的最大值的求法，考查兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之各為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．