Question

已知向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），記f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（x+

π

3

）的值；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式求出f（x）的解析式，然后求值；
（Ⅱ）由正弦定理將邊角的混合等式化為角的等式，利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)求出角A的范圍，然后求三角函數(shù)值的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），記f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
因?yàn)閒（x）=1，所以sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
所以cos（x+

π

3

）=1-2sin²（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
（Ⅱ）因?yàn)椋?a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
所以2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
所以2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，sinA≠0，
所以cosB=

1

2

，又0＜B＜

π

2

，所以B=

π

3

，
則A+C=

2π

3

，即A=

2π

3

-C，又0＜C＜

π

2

，
則

π

6

＜A＜

π

2

，得

π

3

＜A+

π

6

＜

2π

3

，
所以

3

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，又f（2A）=sin（A+

π

6

）+

1

2

，
所以f（2A）的取值范圍（

3 +1

2

，

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算以及利用正弦定理以及化簡(jiǎn)三角函數(shù)式、解三角形；角的范圍的確定是關(guān)鍵．