Question

13．如圖，已知橢圓$C：\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$，點B是其下頂點，過點B的直線交橢圓C于另一點A（A點在x軸下方），且線段AB的中點E在直線y=x上．
（1）求直線AB的方程；
（2）若點P為橢圓C上異于A、B的動點，且直線AP，BP分別交直線y=x于點M、N，證明：OM•ON為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點E（m，m），則A（2m，2m+2），通過將點A代入橢圓C，計算即得結(jié)論；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），分別聯(lián)立直線AP與直線y=x的方程、直線BP與直線y=x的方程，計算即得結(jié)論．

解答 （1）解：設(shè)點E（m，m），∵B（0，-2），∴A（2m，2m+2），
∵點A在橢圓C上，∴$\frac{4{m}^{2}}{12}+\frac{（2m+2）^{2}}{4}=1$，
解得m=-$\frac{3}{2}$或m=0（舍去），
∴A（-3，-1），
∴直線AB的方程為：x+3y+6=0；
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，
①直線AP方程為：y+1=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}+3}$（x+3），
聯(lián)立直線AP與直線y=x的方程，解得：x_M=$\frac{3{y}_{0}-{x}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}+2}$，
同理x_N=$\frac{-2{x}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}-2}$，
∴OM•ON=$\sqrt{2}$|x_M|•$\sqrt{2}$|x_N|=2|$\frac{3{y}_{0}-{x}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}+2}$•$\frac{-2{x}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}-2}$|=2|$\frac{{{x}_{0}}^{2}-3{x}_{0}{y}_{0}}{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}-{x}_{0}{y}_{0}}$|=6

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查求直線的方程、線段乘積為定值等問題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．