Question

17．已知p：函數f（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$在（m，2m）上是單調函數；q：“x²-3x≤0”是“x²-2mx-3m²≤0”的充分不必要條件，若p∨q為真，p∧q為假，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 對于p：f′（x）=$\frac{{e}^{x}-（x-2）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$，可得當x＞3時，函數f（x）單調遞減；當x＜3時，函數f（x）單調遞增．由于函數f（x）在（m，2m）（m＞0）上是單調函數，可得m≥3或0＜2m≤3，解得m范圍．對于q：由x²-3x≤0解得0≤x≤3，
由x²-2mx-3m²≤0化為（x+m）（x-3m）≤0，對m分類討論：當m＞0時，解得-m≤x≤3m；當m=0時，解得x=0；當m＜0時，解得3m≤x≤-m．根據“x²-3x≤0”是“x²-2mx-3m²≤0”的充分不必要條件，可得$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{3≤3m}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{3≤-m}\end{array}\right.$．若p∨q為真，p∧q為假，則p與q必然一真一假．解出即可．

解答 解：對于p：函數f（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}-（x-2）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$，可得當x＞3時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；當x＜3時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
∵函數f（x）在（m，2m）（m＞0）上是單調函數，∴m≥3或0＜2m≤3，解得m≥3或$0＜m≤\frac{3}{2}$．
對于q：由x²-3x≤0解得0≤x≤3，
由x²-2mx-3m²≤0化為（x+m）（x-3m）≤0，當m＞0時，解得-m≤x≤3m；當m=0時，解得x=0；當m＜0時，解得3m≤x≤-m．
∵“x²-3x≤0”是“x²-2mx-3m²≤0”的充分不必要條件，∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{3≤3m}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{3≤-m}\end{array}\right.$，
解得m≥1或m≤-3．
若p∨q為真，p∧q為假，則p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥3或0＜m≤\frac{3}{2}}\\{-3＜m＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}＜m＜3或m≤0}\\{m≤-3或m≥1}\end{array}\right.$，
解得0＜m＜1，或$\frac{3}{2}＜m＜3$，或m≤-3．
∴實數m的取值范圍是m≤-3，或0＜m＜1，或$\frac{3}{2}$＜m＜3．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性、一元二次不等式解法、簡易邏輯的判定方法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．