Question

6．某質(zhì)點A從時刻t=0開始沿某方向運動的位移為：S（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{3}-6{t}^{2}+9t（0≤t＜4）}\\{{t}^{2}-10t+28（t≥4）}\end{array}\right.$
（1）比較質(zhì)點A在時刻t=3與t=5的瞬時速度大��；
（2）若另一個質(zhì)點B也從時刻t=0開始沿與A相同的方向從同一個地點勻速運動，運動速度為$\frac{15}{4}$，質(zhì)點B何時領(lǐng)先于質(zhì)點A最遠？并且求此最遠距離．

Answer 1

分析 （1）分段求出函數(shù)的導數(shù)，再代值計算比較即可；
（2）表示出質(zhì)點B領(lǐng)先于質(zhì)點A的距離為S₂（t）的函數(shù)關(guān)系式，并求導，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）當0≤t＜4時，S′（t）=3t²-12t+9，
S′（3）=3×9-12×3+9=0，
當t＞4時，S′（t）=2t-10，S′（5）=2×5-10=0，
所以質(zhì)點A在時刻t=3與t=5的瞬時速度大小相等；
（2）質(zhì)點B的位移為S₁（t）=$\frac{15}{4}$t，
質(zhì)點B領(lǐng)先于質(zhì)點A的距離為S₂（t）=S₁（t）-s（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{3}+6{t}^{2}-\frac{21}{4}t，（0≤t＜4）}\\{-{t}^{2}+\frac{55}{4}t-28，（t≥4）}\end{array}\right.$，
當0≤t＜4時，S′（t）=3t²-12t-$\frac{21}{4}$，
令S′（t）=0，則t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{7}{2}$，
可知S₂（t）在[0，$\frac{1}{2}$）和（$\frac{7}{2}$，4]上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$）上單調(diào)遞增，
并且S₂（0）=0，S₂（$\frac{7}{2}$）=$\frac{49}{4}$，
當t≥4時，S₂（t）在t=$\frac{55}{8}$處取得最大值為S₂（$\frac{55}{8}$）=$\frac{1233}{64}$．

點評 本題考查了導數(shù)在實際問題中的應用，關(guān)鍵是導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，屬于中檔題．