Question

13．已知平面上兩點A（-a，0），B（a，0）（a＞0），若圓（x-3）²+（y-4）²=4上存在點P，使得∠APB=90°，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [3，6]
• B． [3，7]
• C． [4，6]
• D． [0，7]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出圓C的圓心C與半徑r，設P（m，n）在圓C上，表示出$\overrightarrow{AP}$=（a+m，n），$\overrightarrow{BP}$=（m-a，n），利用∠APB=90°，求出a²，根據(jù)|OP|表示的幾何意義，得出a的取值范圍．

解答 解：∵圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，
∴圓心C（3，4），半徑r=2；
設點P（m，n）在圓C上，則$\overrightarrow{AP}$=（a+m，n），$\overrightarrow{BP}$=（m-a，n）；
∵∠APB=90°，
∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BP}$，
∴（m+a）（m-a）+n²=0；
即a²=m²+n²；
∴|OP|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+2=7，最小值是|OC|-r=5-2=3；
∴a的取值范圍是[3，7]．
故選：B．

點評 本題考查了平面向量的應用問題，也考查了直線與圓的應用問題，是綜合性題目．