Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=log_a（x+1）（a＞0，a≠1）
（1）當(dāng)a＞1時(shí)，證明：?x₁，x₂∈（-1，+∞），x₁≠x₂，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）$＞\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$；
（2）若曲線y=f（x）有經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到只需證明只需$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$+1＞$\sqrt{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$即可，（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到f′（0）有意義即可．

解答 解：（1）a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
∴f$（\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}）$=${log}_{a}^{（\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}+1）}$，
$\frac{f{（x}_{1}）+f{（x}_{2}）}{2}$=${log}_{a}^{\sqrt{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}}$，
只需$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$+1＞$\sqrt{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$即可，
兩邊平方得：${（\frac{{x}_{1}{+x}_{2}+2}{2}）}^{2}$＞（x₁+1）（x₂+1），
∴${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$-2x₁x₂＞0，
而x₁≠x₂，
∴${{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}$＞0，
故有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）$＞\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立；
（2）f′（x）=$\frac{1}{（x+1）lna}$，
若曲線y=f（x）有經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）的切線，
則f′（0）=$\frac{1}{lna}$＞0有意義，即lna＞0，
∴a＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是一道中檔題．