Question

如圖兩個(gè)共底面的相同的圓錐，底面圓心為O，頂點(diǎn)分別為S和P，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接矩形，連接SA，SD，PC，PB
（1）證明平面SAD∥平面PBC
（2）圓O的圓周上是否存在點(diǎn)M使平面SOM⊥平面SAD，若存在寫出存在的理由，并給予證明，若不存在說(shuō)明理由．
（3）若SA=2，AB=BC=2，求三棱錐S-PBC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接BD，SB，PD，證明四邊形SDPB是菱形，可得PB∥平面SDA，證明BC∥平面SDA，即可證明平面SAD∥平面PBC；
（2）過(guò)點(diǎn)O作直線AD的垂線交圓于兩個(gè)點(diǎn)都可以作為存在點(diǎn)M，即可證明平面SOM⊥平面SAD；
（3）利用V_S-PBC=

1

3

S_△SPB•CO，即可求三棱錐S-PBC的體積．

解答： 證明：（1）連接BD，SB，PD，則
∵四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接矩形，
∴BD過(guò)圓心O，
∴S，D，P，B四點(diǎn)共面，
∵兩個(gè)共底面的相同的圓錐，
∴SD=DP=PB-BS，
∴四邊形SDPB是菱形，
∴PB∥SD，
∴PB∥平面SDA，
∵BC∥AD，
∴BC∥平面SDA，
∵PB∥平面SDA，BC∥平面SDA，PB∩BC=B，
∴平面SAD∥平面PBC
（2）解：過(guò)點(diǎn)O作直線AD的垂線交圓于兩個(gè)點(diǎn)都可以作為存在點(diǎn)M．
∵SO⊥圓O，
∴AD⊥SO，
∵AD⊥SO，AD⊥OM，OM∩SO=O，
∴AD⊥平面SOM，
∴平面SOM⊥平面SAD；
（3）解：∵AB=BC=2，
∴四邊形ABCD是圓O的邊長(zhǎng)為2的內(nèi)接正方形，
∴V_S-PBC=

1

3

S_△SPB•CO=

2 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面平行、垂直，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．