Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1，求f（x）在（2，2+△x）上的平均變化率；
（2）當(dāng)a=4，求其斜率為0的切線方程；
（3）求證：“對(duì)勾函數(shù)”圖象上的各點(diǎn)處切線的斜率小于1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1根據(jù)平均變化率的公式即可求f（x）在（2，2+△x）上的平均變化率；
（2）當(dāng)a=4，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)等于0，即可求其斜率為0的切線方程；
（3）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)即可證明“對(duì)勾函數(shù)”圖象上的各點(diǎn)處切線的斜率小于1．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1，f（x）=x+

a

x

=x+

1

x

，
f（x）在（2，2+△x）上的平均變化率

△y

△x

=

f(2+△x)-f(2)

△x

=

△x+ 1 2+△x - 1 2

△x

=1+

2-2-△x 2(2+△x)

△x

=1-

1

2(2+△x)

；
（2）當(dāng)a=4，f（x）=x+

a

x

=x+

4

x

，
則f′（x）=1-

4

x2

，
由f′（x）=1-

4

x2

=0，解得x=2或x=-2，
當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=2+

4

2

=4，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），
當(dāng)x=-2時(shí)，f（-2）=-2+

4

-2

=-4，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-4），
則其斜率為0的切線方程為y=4或y=-4；
（3）若f（x）=x+

a

x

（a＞0）．
則f′（x）=1-

a

x2

，
∵a＞0，∴f′（x）=1-

a

x2

＜1，
即“對(duì)勾函數(shù)”圖象上的各點(diǎn)處切線的斜率小于1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．