14.等差數(shù)列{an}中的a1、a5是函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}-5{x^2}$+9x-1的極值點(diǎn),且公差d>0,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2bn-2,(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an•bn}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (1)f′(x)=x2-10x+9=(x-1)(x-9),令f′(x)=0,可得:1,9是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).由于等差數(shù)列{an}中的公差d>0,可得a1=1,a5=9.利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an=2n-1.由Sn=2bn-2,利用遞推式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(2)an•bn=(2n-1)•2n.利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.

解答 解:(1)f′(x)=x2-10x+9=(x-1)(x-9),令f′(x)=0,解得x=1,9,可得:1,9是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).
∵等差數(shù)列{an}中的公差d>0,∴a1=1,a5=9.∴9=1+4d,解得d=2,∴an=1+2(n-1)=2n-1.
∵Sn=2bn-2,(n∈N*).∴當(dāng)n=1時(shí),b1=2b1-2,解得b1=2,
當(dāng)n≥2時(shí),bn=Sn-Sn-1=(2bn-2)-(2bn-1-2),化為bn=2bn-1
∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比為2,
∴bn=2n
(2)an•bn=(2n-1)•2n
∴數(shù)列{an•bn}的前n項(xiàng)和Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n
2Tn=22+3×23+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1,
∴-Tn=2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)×2n+1=$\frac{2({2}^{n+1}-1)}{2-1}$-4-(2n-1)×2n+1
化為T(mén)n=(2n-3)×2n+1+6.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C方程為$\left\{\begin{array}{l}x=5cosφ\(chéng)\ y=3sinφ\(chéng)end{array}\right.(φ$為參數(shù)),求過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),且與直線$\left\{\begin{array}{l}x=4-2t\\ y=3-t\end{array}\right.(t$為參數(shù))平行的直線l的普通方程.

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3.關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+$\frac{π}{3}$)(x∈R)有如下說(shuō)法:
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③函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-$\frac{π}{6}$,0)對(duì)稱(chēng);
④函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{6}$對(duì)稱(chēng);
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