Question

6．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C方程為$\left\{\begin{array}{l}x=5cosφ\\ y=3sinφ\end{array}\right.（φ$為參數(shù)），求過橢圓的右焦點，且與直線$\left\{\begin{array}{l}x=4-2t\\ y=3-t\end{array}\right.（t$為參數(shù)）平行的直線l的普通方程．

Answer 1

分析 利用cos²φ+sin²φ=1可把橢圓C方程為$\left\{\begin{array}{l}x=5cosφ\\ y=3sinφ\end{array}\right.（φ$為參數(shù)），化為普通方程．可得$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$．直線$\left\{\begin{array}{l}x=4-2t\\ y=3-t\end{array}\right.（t$為參數(shù)）化為普通方程：x-2y+2=0，可設與上述平行的直線l的普通方程為x-2y+m=0，把右焦點坐標代入即可得出．

解答 解：橢圓C方程為$\left\{\begin{array}{l}x=5cosφ\\ y=3sinφ\end{array}\right.（φ$為參數(shù)），化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
∴$c=\sqrt{25-9}$=4．
可得橢圓的右焦點為F（4，0），
直線$\left\{\begin{array}{l}x=4-2t\\ y=3-t\end{array}\right.（t$為參數(shù)）化為普通方程：x-2y+2=0，
可設與上述平行的直線l的普通方程為x-2y+m=0．
把F代入可得：4-0+m=0，解得m=-4．
于是所求直線方程為x-2y+4=0．

點評 本題考查了橢圓的參數(shù)方程化為普通方程、橢圓的標準方程及其性質(zhì)、相互平行的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．