Question

8．定義$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+p+…+{p}_{n}}$為n個(gè)正數(shù)p₁，p₂，…，p_n的“調(diào)和倒數(shù)”．若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“調(diào)和倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{2}$，則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{9}_{10}}$=$\frac{9}{40}$．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“調(diào)和倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+1}$，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，可得$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，即S_n=2n²+n，利用遞推式可得a_n=4n-1．可得b_n=2n，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“調(diào)和倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+1}$，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
∴$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，
∴S_n=n（2n+1）=2n²+n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n²+n-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，∴a_n=4n-1．
∴又b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{2}$=2n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{9}_{10}}$=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{9}-\frac{1}{10}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{10}）$=$\frac{9}{40}$．
故答案為：$\frac{9}{40}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義“調(diào)和倒數(shù)”、遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．