Question

20．已知圓C的極坐標方程是ρ=4sinθ，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t+m}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）．若直線l與圓C相切，求正數(shù)m的值．

Answer 1

分析 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，化簡圓C的方程為普通方程，運用代入法求得直線的普通方程，再由直線和圓相切的條件d=r，解方程可得m．

解答 解：由ρ=4sinθ，得ρ²=4ρsinθ，所以x²+y²-4y=0，
即圓C方程為x²+（y-2）²=4．其圓心為（0，2），半徑為2．
又由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t+m}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）．消t得x-$\sqrt{3}$y+$\sqrt{3}$m=0，
因為直線l與圓C相切，所以$\frac{|-2\sqrt{3}+\sqrt{3}m|}{2}$=2，得m=2±$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
又m＞0，所以m=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查極坐標方程和參數(shù)方程與普通方程的互化，主要考查直線和圓的位置關(guān)系：相切的條件，屬于中檔題．