Question

17．已知區(qū)域D由不等式組$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤\sqrt{2}}\\{y≤2}\\{x≤\sqrt{2}y}\end{array}\right.$給定，若點M（x，y）為D上的動點，點A（$\sqrt{2}$，1），則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$的最大值為4．

Answer 1

分析 首先畫出可行域，z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$代入坐標變?yōu)閦=$\sqrt{2}$x+y，即y=-$\sqrt{2}$x+z，z表示斜率為$-\sqrt{2}$的直線在y軸上的截距，故求z的最大值，即求y=-$\sqrt{2}$x+z與可行域有公共點時在y軸上的截距的最大值

解答 解：由不等式組$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤\sqrt{2}}\\{y≤2}\\{x≤\sqrt{2}y}\end{array}\right.$給定的區(qū)域D如圖所示：
z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OA}$=$\sqrt{2}$x+y，即y=-$\sqrt{2}$x+z
首先做出直線l₀：y=-$\sqrt{2}$x，將l₀平行移動，當經(jīng)過B點時在y軸上的截距最大，從而z最大．
因為B（ $\sqrt{2}$，2），故z的最大值為4；
故答案為：4．

點評 本題考查線性規(guī)劃、向量的坐標表示、平面向量數(shù)量積的運算等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．