Question

17．已知函數(shù)f（x）=2^x+$\frac{m}{{2}^{x}}$（m∈R）是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（3）對任意的x∈R，若不等式f（x²-4x-k）+$\frac{3}{2}$＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接由f（0）=0求得m值，然后代入函數(shù)解析式驗(yàn)證函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）直接由函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)為增函數(shù)；
（3）把不等式變形，得到f（x²-4x-k）＞-$\frac{3}{2}$=f（1），然后利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式，分離參數(shù)k后利用配方法求得答案．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）=2^x+$\frac{m}{{2}^{x}}$的定義域?yàn)镽，且函數(shù)為奇函數(shù)，則f（0）=${2}^{0}+\frac{m}{{2}^{0}}=0$，即m=-1．
此時f（x）=${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$，由f（-x）=${2}^{-x}-\frac{1}{{2}^{-x}}=\frac{1}{{2}^{x}}-{2}^{x}=-（{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}）=-f（x）$，可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明：設(shè)x₁，x₂是（-∞，+∞）上的任意兩個實(shí)數(shù)，且x₁＞x₂，
則$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={2}^{{x}_{1}}-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}-{2}^{{x}_{2}}+\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$=${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}+\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$
=$（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}）$．
∵x₁＞x₂，∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＞0，1+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}＞0$，
則$（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{1}}）（1+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}）$＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（3）由f（x²-4x-k）+$\frac{3}{2}$＞0，得f（x²-4x-k）＞-$\frac{3}{2}$=f（1），
又由（2）知，f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∴x²-4x-k＞1恒成立，即k＜x²-4x-1恒成立，
由x²-4x-1=（x-2）²-5≥-5．
∴k＜-5．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-5）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，訓(xùn)練了函數(shù)恒成立問題，訓(xùn)練了利用配方法求最值，是中檔題．