Question

17．已知橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，過上頂點和左焦點的直線的傾斜角為$\frac{π}{6}$，直線l過點E（-1，0）且與橢圓C交于A，B兩點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）△AOB的面積是否有最大值？若有，求出此最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，過上頂點和左焦點的直線的傾斜角為$\frac{π}{6}$，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）設直線l的方程為x=my-1或y=0（舍），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{x=my-1}\end{array}\right.$，得（m²+4）y²-2my-3=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、三角形面積公式、換元法、函數性質，結合已知條件能求出△AOB的面積的最大值．

解答 解：（1）∵橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，過上頂點和左焦點的直線的傾斜角為$\frac{π}{6}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{c}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，再由a²=b²+c²，解得a=2，b=1，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）∵直線l過點E（-1，0），∴設直線l的方程為x=my-1或y=0（舍），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{x=my-1}\end{array}\right.$，得（m²+4）y²-2my-3=0，
△=4m²+12（m²+4）＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中y₁＞y₂，
解得${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+4}$，
∴|y₂-y₁|=$\sqrt{（1+\frac{1}{{m}^{2}}）[（\frac{2m}{{m}^{2}+4}）^{2}+4×\frac{3}{{m}^{2}+4}]}$=$\frac{4\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$，
則S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OE|•|y₂-y₁|=$\frac{2\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$=$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+3}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+3}}}$，
設t=$\sqrt{{m}^{2}+3}$，則g（t）=t+$\frac{1}{t}$，t$≥\sqrt{3}$，
則g（t）在區(qū)間[$\sqrt{3}$，+∞）上是增函數，∴g（t）≥g（$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴S_△AOB≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
當且僅當m=0時，取等號，即（S_△AOB）_max=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴△AOB的面積有最大值，最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查三角形面積是否有最大值的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、三角形面積公式、換元法、函數性質的合理運用．