Question

9．已知點(diǎn)F₁（0，-$\sqrt{3}$），F(xiàn)₂（0，$\sqrt{3}$），曲線r上任意一點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，拋物線x²=2py，（p＞0）．
（1）若拋物線的焦點(diǎn)在曲線r上，求曲線r的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)是F（0，$\frac{1}{2}$），在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M為切點(diǎn)的切線與曲線r相交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓定義求得橢圓方程
（2）假設(shè)存在點(diǎn)M，設(shè)坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{2}{a}^{2}$），由y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$，得y²=x，求得切線，跟橢圓聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得，根據(jù)條件列式求解．

解答 解：（1）∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|
∴P的軌跡是以4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，2$\sqrt{3}$為焦距的橢圓，橢圓方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$
又拋物線焦點(diǎn)在y軸正半軸上，所以焦點(diǎn)F（0，2），
∴x²=8y．
（2）由題意可得拋物線方程：x²=2y…（6分）
假設(shè)存在點(diǎn)M，設(shè)坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{2}{a}^{2}$），由y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$，得y²=x，
所以切線方程：y-$\frac{1}{2}{a}^{2}=a（x-a）$，即$y=ax-\frac{1}{2}{a}^{2}$…（8分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax-\frac{1}{2}{a}^{2}}\\{{y}^{2}+4{x}^{2}=4}\end{array}\right.$得，$（{a}^{2}+4）{x}^{2}-{a}^{2}x+\frac{1}{4}{a}^{4}-4=0$
△=${a}^{6}-4（{a}^{2}+4）（\frac{1}{4}{a}^{4}-4）=-4（{a}^{4}-4{a}^{2}-16）$（*）
由韋達(dá)定理，得：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+4}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{\frac{1}{4}{a}^{4}-4}{{a}^{2}+4}$=$\frac{{a}^{4}-16}{4（{a}^{2}+4）}$
由題意可得：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0
∴${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}={x}_{1}{x}_{2}+（a{x}_{1}-\frac{1}{2}{a}^{2}）$（$a{x}_{2}-\frac{1}{2}{a}^{2}$）=$（1+{a}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}-\frac{{a}^{3}}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$$+\frac{1}{4}{a}^{4}=\frac{（1+{a}^{2}）（{a}^{4}-16）}{4（{a}^{2}+4）}-\frac{{a}^{6}}{2（{a}^{2}+4）}$$+\frac{{a}^{4}}{4}=\frac{5{a}^{4}-16{a}^{2}-16}{4（{a}^{2}+4）}=0$
解得：a2=4，帶入*式，得：△＞0
綜上，存在點(diǎn)M（±2，2）…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓定義的應(yīng)用和直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于中檔題，在高考中常作壓軸題出現(xiàn)．