Question

已知方程tan²x一tan x+1=0在x[0，n)( nN*)內(nèi)所有根的和記為a_n
(1)寫(xiě)出a_n的表達(dá)式；(不要求嚴(yán)格的證明)
(2)記S_n = a₁ + a₂ +…+ a_n求S_n；
(3)設(shè)b_n =(kn一5) ，若對(duì)任何nN* 都有a_nb_n，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

(1) =(n²一) (2)  (3) k4

試題分析：解:( 1)解方程得tanx=或,當(dāng)n=1時(shí),x=或,此時(shí)=,
當(dāng)n=2時(shí),x=,,+,+,∴=+(+2)
依次類推:=+(+2)+…+[+2(n一1) ],
∴=(n²一)
(2) =(1² +2² +…+n² ) 一 (1+2+…+n)
=
=
(3)由得(n2—) (kn一5) ,
∴knn²一+5 ∵n∈N*,∴kn+一,
設(shè)= n+一,
易證在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增
∵n∈N*,=4,=4∴n=2,_min =4,
∴k4
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用數(shù)列的累加法來(lái)求解其通項(xiàng)公式，同時(shí)能利用分組求和來(lái)得到和式，屬于基礎(chǔ)題。