Question

6．已知三棱錐A-BCD滿(mǎn)足棱AB，AC，AD兩兩互相垂直，且$|{BC}|=\sqrt{34}，|{CD}|=\sqrt{41}$，|BD|=5．則三棱錐A-BCD外接球的體積為$\frac{{125\sqrt{2}}}{3}π$．

Answer 1

分析 三棱錐A-BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補(bǔ)成長(zhǎng)方體，兩者的外接球是同一個(gè)，長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)就是球的直徑，求出長(zhǎng)方體的三度，轉(zhuǎn)化為對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，即可求解外接球的體積．

解答 解：三棱錐A-BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補(bǔ)成長(zhǎng)方體，兩者的外接球是同一個(gè)，長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)就是球的直徑，
設(shè)長(zhǎng)方體的三度為a，b，c由題意得：a²+b²=34，a²+c²=41，b²+c²=25，
解得：a²+b²+c²=50，
所以球的直徑為：5$\sqrt{2}$
它的半徑為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
球的體積為$\frac{4}{3}π•（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{3}$=$\frac{{125\sqrt{2}}}{3}π$．
故答案為：$\frac{{125\sqrt{2}}}{3}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題是基礎(chǔ)題，考查幾何體的外接球的體積，三棱錐轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體，兩者的外接球是同一個(gè)，以及長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)就是球的直徑是解題的關(guān)鍵所在．