Question

11．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=5+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ+4sinθ．
（1）求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）當(dāng)θ∈（0，π）時(shí)，求直線l與曲線C公共點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由$y=5+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t$，得$\frac{{\sqrt{5}}}{5}t=y-5$，將其代入$x=2+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t$即可得出直線l的直角坐標(biāo)方程．由ρ=2cosθ+4sinθ，得ρ²=2ρcosθ+4ρsinθ，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}x-2y+8=0\\{x^2}+{y^2}-2x-4y=0\end{array}\right.$，解得交點(diǎn)坐標(biāo)，化為極坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）由$y=5+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t$，得$\frac{{\sqrt{5}}}{5}t=y-5$，將其代入$x=2+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t$中得：x-2y+8=0，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x-2y+8=0．
由ρ=2cosθ+4sinθ，得ρ²=2ρcosθ+4ρsinθ，
∴x²+y²=2x+4y，即x²+y²-2x-4y=0，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x-4y=0．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}x-2y+8=0\\{x^2}+{y^2}-2x-4y=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=4\end{array}\right.$，
∴直線l與曲線C的公共點(diǎn)為（0，4），
∵θ∈（0，π），
∴直線l與曲線C公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為$（{4，\frac{π}{2}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、曲線的交點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．