Question

5．函數(shù)f（x）=sinωxcosφ-cosωxsinφ（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象過點（$\frac{π}{6}$，0），且相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$
（1）（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）試求函數(shù)y=f²（$\frac{1}{2}x$）+$\frac{1}{2}$的單調(diào)增區(qū)間以及使得y$＞\frac{3}{4}$的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡解析式可得f（x）=sin（ωx-φ），由相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，根據(jù)周期公式可求ω的值，由圖象過點（$\frac{π}{6}$，0），結(jié)合φ的范圍即可求φ值，從而可求求f（x）的表達(dá)式．
（2）化簡可求解析式y(tǒng)=1-$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{2π}{3}$），由2kπ+$\frac{2π}{3}$≤2x-$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z，可解得函數(shù)y的單調(diào)增區(qū)間，由y=1-$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{2π}{3}$）$＞\frac{3}{4}$，可解得：cos（2x-$\frac{2π}{3}$）＜$\frac{1}{2}$，
利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得x的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=sinωxcosφ-cosωxsinφ=sin（ωx-φ），
∵相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴周期T=2×$\frac{π}{2}=π$=$\frac{2π}{ω}$，解得：ω=2，
∵圖象過點（$\frac{π}{6}$，0），
∴0=sin（2×$\frac{π}{6}$-φ），可解得：φ=$\frac{π}{3}-kπ$，k∈Z
∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）的表達(dá)式為：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（2）∵y=f²（$\frac{1}{2}x$）+$\frac{1}{2}$=sin²（2×$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）$+\frac{1}{2}$=$\frac{1-cos（2x-\frac{2π}{3}）}{2}$+$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{2π}{3}$）．
∴由2kπ+$\frac{2π}{3}$≤2x-$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z，可解得函數(shù)y=f²（$\frac{1}{2}x$）+$\frac{1}{2}$的單調(diào)增區(qū)間為：[k$π+\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
∵y=1-$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{2π}{3}$）$＞\frac{3}{4}$，
∴可解得：cos（2x-$\frac{2π}{3}$）＜$\frac{1}{2}$，
∴解得：2x-$\frac{2π}{3}$∈[2kπ$+\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{5π}{3}$]，k∈Z，
∴x∈[k$π+\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{7π}{6}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．