【題目】已知橢圓的中心是坐標原點,它的短軸長為,一個焦點為,一個定點,且,過點的直線與橢圓相交于兩點..
(1)求橢圓的方程及離心率.
(2)如果以為直徑的圓過原點,求直線的方程.
【答案】(1),離心率為;(2)或
【解析】
(1)根據短軸長求得,根據列方程,求得,由此求得,從而求得橢圓的方程以及離心率.
(2)當直線斜率不存在時,不合題意.當直線斜率存在時,設出直線的方程,與橢圓方程聯立,寫出判別式和韋達定理.根據圓的直徑有關的幾何性質得到,化為,利用向量數量積的坐標運算進行化簡,解方程求得直線的斜率,進而求得直線的方程.
(1)由題意得:,
所以 , ,
因為,即: ,
解得:,所以,
所以 ,
所以橢圓的方程為:,離心率為.
(2)由(1)可知,設 .顯然當直線的斜率不存在時不適合題意,設直線的斜率為,
則直線方程為:,與橢圓方程,
聯立得:,
,
,,
因為以為直徑的圓過原點,
所以,即,
所以 ,即 ,
,
即:,
解得:,即,
所以直線的方程為或.
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【題目】某工廠在生產產品時需要用到長度為的型和長度為的型兩種鋼管.工廠利用長度為的鋼管原材料,裁剪成若干型和型鋼管,假設裁剪時損耗忽略不計,裁剪后所剩廢料與原材料的百分比稱為廢料率.
(1)要使裁剪的廢料率小于,共有幾種方案剪裁?請寫出每種方案中分別被裁剪型鋼管和型鋼管的根數;
(2)假設一根型鋼管和一根型鋼管能成為一套毛胚,假定只能按(1)中的那些方案裁剪,若工廠需要生產套毛胚,則至少需要采購多少根長度為的鋼管原材料?最終的廢料率為多少?
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【題目】有一橢圓形溜冰場,長軸長100米,短軸長為60米,現要在這溜冰場上劃定一個各頂點都在溜冰場邊界上的矩形區(qū)域,且使這個區(qū)域的面積最大,應把這個矩形的頂點定位在何處?并求出此矩形的周長.
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【題目】如果對定義在R上的奇函數y=f(x),對任意兩個不相鄰的實數x1,x2,所有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),則稱函數y=f(x)為“H函數”,下列函數為H函數的是( 。
A. f(x)=sinxB. f(x)=exC. f(x)=x3﹣3xD. f(x)=x|x|
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【題目】從某企業(yè)生產的某種產品中抽取100件,測量這些產品的一項質量指標值.由測量表得到如下頻率分布直方圖
(1)補全上面的頻率分布直方圖(用陰影表示);
(2)統(tǒng)計方法中,同一組數據常用該組區(qū)間的中間值作為代表,據此估計這種產品質量指標值服從正態(tài)分布Z(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均值,σ2近似為樣本方差s2(組數據取中間值);
①利用該正態(tài)分布,求從該廠生產的產品中任取一件,該產品為合格品的概率;
②該企業(yè)每年生產這種產品10萬件,生產一件合格品利潤10元,生產一件不合格品虧損20元,則該企業(yè)的年利潤是多少?
參考數據:=5.1,若Z~N(μ,σ2),則P(μ﹣σ,μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ,μ+2σ)=0.9544.
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【題目】我國齊梁時代的數學家祖暅提出了一條原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是:兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個幾何體的體積相等.橢球體是橢圓繞其軸旋轉所成的旋轉體.如圖,將底面直徑都為,高皆為的橢半球體和已被挖去了圓錐體的圓柱放置于同一平面上,用平行于平面且與平面任意距離處的平面截這兩個幾何體,可橫截得到及兩截面.可以證明總成立.據此,半短軸長為1,半長軸長為3的橢球體的體積是_______.
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【題目】十九大提出:堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn),做到精準扶貧,某幫扶單位為幫助定點扶貧村真正脫貧,堅持扶貧同扶智相結合,幫助貧困村種植臍橙,并利用互聯網電商進行銷售,為了提高銷量,現從該村的臍橙樹上隨機摘下100個臍橙進行測重,其質量(單位克)分布在區(qū)間[200,500內,由統(tǒng)計的質量數據作出頻率分布直方圖如圖所示.
(1)按分層抽樣的方法從質量在,的臍橙中隨機抽取5個,再從這5個臍橙中隨機抽取2個,求這2個臍橙質量至少有一個不小于400克的概率;
(2)以各組數據的中間數值代替這組數據的平均值,以頻率代替概率,已知該村的臍橙種植地上大約還有100000個臍橙待出售,某電商提出兩種收購方案:
A.所有臍橙均以7元/千克收購;
B.低于350克的臍橙以2元/個收購,其余的以3元/個收購.
請你通過計算為該村選擇收益較好的方案.
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