Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₂=4，a₃+a₄=14，b_n=3 an．
（1）證明：{b_n}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列性質(zhì)求出a₁=2，d=2，從而a_n=2n，bn=3an=3²ⁿ=9ⁿ，由此能證明{b_n}為首項(xiàng)為9公比為9的等比數(shù)列．
（2）由nb_n=n•b_n=n•9ⁿ，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （1）證明：∵等差數(shù)列{a_n}中，a₂=4，a₃+a₄=14，
∴

a1+d=4 2a1+5d=14

，解得a₁=2，d=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n，
∴bn=3an=3²ⁿ=9ⁿ，
∴{b_n}為首項(xiàng)為9公比為9的等比數(shù)列．
（2）解：∵nb_n=n•b_n=n•9ⁿ，
∴S_n=9+2•9²+3•9³+…+n•9ⁿ，①
9S_n=9²+2•9³+3•9⁴+…+n•9ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-8S_n=9+9²+9³+…+9ⁿ-n•9ⁿ⁺¹
=

9(1-9n)

1-9

-n•9ⁿ⁺¹
=-

9

8

(1-9n)-n•9n+1，
∴S_n=

9

64

(1-9n)+

n•9n+1

8

．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意錯位相減法的合理運(yùn)用．