【題目】過拋物線E:x2=2py(p>0) 的焦點F作斜率分別為 k1,k2 的兩條不同的直線 l1,l2 ,且k1+k2=2 ,l1與E 相交于點A,B, l2與E 相交于點C,D.以AB,CD為直徑的圓M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在的直線記為 l .
(1)若k1>0,k2>0 ,證明;;
(2)若點M到直線 l 的距離的最小值為 ,求拋物線E的方程.
【答案】
(1)
【解答】由題意,拋物線E的焦點為 ,直線 l1 的方程為 .
由 ,得 x2-2pk1x-p2=0 ,設(shè)A,B兩點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),
則 x1,x2 是上述方程的兩個實數(shù)根,從而x1+x2 =2pk1, ,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk12+p ,所以點M的坐標為 , ,同理可得點N的坐標為 , ,于是
,由題設(shè), k1+k2=2 ,k1>0,k2>0, ,
所以 ,故
(2)
【解答】由拋物線的定義得 , ,
所以|AB|=y1+y2+p=2pk12+2p ,從而圓M的半徑r1=pk12+p ,故圓M的方程為 ,
化簡得
同理可得圓N的方程為 .于是圓M,圓N的公共弦所在直線l的方程為 ,又 , ,則 的方程為 ,因為 p>0 ,所以點M到直線l的距離 ,故當 時, d 取最小值 ,由題設(shè), ,解得 p=8 ,故所求拋物線E的方程為x2=16y .
【解析】(1)先寫出過拋物線焦點的直線方程,然后和拋物線方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的坐標運算可得到結(jié)果.(2)利用拋物線的焦點弦長公式求出|AB|,此即圓M的直徑,進而可求出圓M的方程,同理可求出圓N的方程,再把兩圓的方程相減即得兩圓公共弦所在直線 方程,于是代入條件即可求解.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知 ,函數(shù) f(x)=x2(x-a) ,若f'(1)=1 .
(1)求 a 的值并求曲線 y=f(x) 在點(1,f(1)) 處的切線方程y=g(x) ;
(2)設(shè)h(x)=f'(x)+g(x) ,求 h(x) 在 [0,1] 上的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,兩個橢圓, 內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線C,P是曲線C上的任意一點,給出下列四個判斷:
①P到F1(-4,0)、F2(4,0)、E1(0,-4)、E2(0,4)四點的距離之和為定值;
②曲線C關(guān)于直線y=x、y=-x均對稱;③曲線C所圍區(qū)域面積必小于36.
④曲線C總長度不大于6π.上述判斷中正確命題的序號為________________.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= 為偶函數(shù),方程f(x)=m有四個不同的實數(shù)解,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣3,﹣1)
B.(﹣2,﹣1)
C.(﹣1,0)
D.(1,2)
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【題目】隨著資本市場的強勢進入,互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風來”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況,某調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進行抽樣分析,得到表格:(單位:人)
經(jīng)常使用 | 偶爾或不用 | 合計 | |
30歲及以下 | 70 | 30 | 100 |
30歲以上 | 60 | 40 | 100 |
合計 | 130 | 70 | 200 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為市使用共享單車情況與年齡有關(guān)?
(2)現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.
(i)分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù);
(ii)從這5人中,再隨機選出2人贈送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率.
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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