【題目】已知 ,函數(shù) f(x)=x2(x-a) ,若f'(1)=1 .
(1)求 a 的值并求曲線 y=f(x) 在點(1,f(1)) 處的切線方程y=g(x) ;
(2)設h(x)=f'(x)+g(x) ,求 h(x) 在 [0,1] 上的最大值與最小值.
【答案】
(1)
解:f'(x)=3x2-2ax ,由 f'(1)=1 得 3-2a=1 ,所以 a=1 ;
當 a=1 時,f(x)=x3-x2,f(1)=0 ,又 f'(1)=1 ,
所以曲線y=f(x) 在(1,f(1)) 處的切線方程為 y-0=x-1 ,即g(x)=x-1 ;
(2)
【解答】
解:由(1)得 ,
又h(0)=-1,h(1)=1, ,
∴ h(x) 在 [0,1] 上有最大值1,有最小值 .
【解析】本題主要考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,解決問題的關鍵是根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解切線方程以及函數(shù)的最值,屬于中檔題
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識點,需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知 .經(jīng)計算得 .
(1)由上面數(shù)據(jù),試猜想出一個一般性結論;
(2)用數(shù)學歸納法證明你的猜想.
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【題目】已知橢圓經(jīng)過點, 的四個頂點構成的四邊形面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)在橢圓上是否存在相異兩點,使其滿足:①直線與直線的斜率互為相反數(shù);②線段的中點在軸上,若存在,求出的平分線與橢圓相交所得弦的弦長;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t為參數(shù)).
(1)寫出函數(shù)f(x)的定義域和值域;
(2)當x∈[0,1]時,如果f(x)≤g(x),求參數(shù)t的取值范圍.
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【題目】已知曲線C上任意一點M到點F(0,1)的距離比它到直線 的距離小1.
(1)求曲線C的方程;
(2)過點 P(2,2)的直線m與曲線C交于A,B兩點,設當△AOB的面積為4時(O為坐標原點),求 的值.
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【題目】過拋物線E:x2=2py(p>0) 的焦點F作斜率分別為 k1,k2 的兩條不同的直線 l1,l2 ,且k1+k2=2 ,l1與E 相交于點A,B, l2與E 相交于點C,D.以AB,CD為直徑的圓M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在的直線記為 l .
(1)若k1>0,k2>0 ,證明;;
(2)若點M到直線 l 的距離的最小值為 ,求拋物線E的方程.
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【題目】已知定理:“實數(shù)m,n為常數(shù),若函數(shù)h(x)滿足h(m+x)+h(m﹣x)=2n,則函數(shù)y=h(x)的圖象關于點(m,n)成中心對稱”.
(1)已知函數(shù)f(x)= 的圖象關于點(1,b)成中心對稱,求實數(shù)b的值;
(2)已知函數(shù)g(x)滿足g(2+x)+g(﹣x)=4,當x∈[0,2]時,都有g(x)≤3成立,且當x∈[0,1]時,g(x)=2k(x﹣1)+1 , 求實數(shù)k的取值范圍.
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