【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線l與E交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)l過點(diǎn)F時(shí)，直線l的斜率為，當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，.

（1）求橢圓E的方程.

（2）以AB為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）.（2）以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn).

【解析】

（1）根據(jù)直線的斜率公式求得的值，由，即可求得的值，求得橢圓方程；

（2）當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及以直徑的圓的方程，令，即可求得，即可判斷以為直徑的圓過定點(diǎn)．

（1）設(shè)橢圓半焦距為c，由題意，所以.

l的斜率不存在時(shí)，，所以，.

所以橢圓E的方程為.

（2）以AB為直徑的圓過定點(diǎn).

理由如下：

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程，，，，，

聯(lián)立方程組，消去，

整理得，

所以，，

所以，，

以為直徑的圓的方程：，

即，

令，則，

解得或，

所以為直徑的圓過定點(diǎn)．

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，，

此時(shí)以AB為直徑的圓的方程為.

顯然過點(diǎn)．

綜上可知，以為直徑的圓過定點(diǎn)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示，已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過7件的顧客占.

一次購(gòu)物量

1至3件

4至7件

8至11件

12至15件

16件及以上

顧客數(shù)（人）

27

20

10

結(jié)算時(shí)間（/人）

0.5

1

1.5

2

2.5

（1）確定，的值，并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值；

（2）從收集的結(jié)算時(shí)間不超過的顧客中，按分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的結(jié)算時(shí)間為的概率.（注：將頻率視為概率）

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【題目】如圖，在多面體中，，四邊形和四邊形是兩個(gè)全等的等腰梯形.

（1）求證：四邊形為矩形；

（2）若平面平面，，，，求多面體的體積.

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程:在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)，直線的極坐標(biāo)方程為，它與曲線的交點(diǎn)為，，與曲線的交點(diǎn)為，求的面積.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為，，直線的斜率為，點(diǎn)在橢圓E上，其中P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)作直線l與x軸垂直，交橢圓于兩點(diǎn)（兩點(diǎn)均不與P點(diǎn)重合)，直線，與x軸分別交于點(diǎn).求的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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【題目】如圖，三棱柱中，平面平面，，.

（1）求證：平面平面；

（2）若與平面所成的線面角為，求二面角的余弦值.

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【題目】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，過作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線、.

（1）求拋物線的方程及準(zhǔn)線方程；

（2）設(shè)直線、分別交拋物線于、兩點(diǎn)（均不與重合，如圖），記直線的斜率為正數(shù)，若以線段為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，求的值.

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【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，該橢圓與軸正半軸交于點(diǎn)，且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)任作一直線交橢圓于，兩點(diǎn)，平面上有一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，且滿足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

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（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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