Question

給出定義：若函數(shù)f（x）在D上可導(dǎo)，即f′（x）存在，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）在D上也可導(dǎo)，則稱(chēng)f（x）在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，則稱(chēng)f（x）在D上為凸函數(shù)．以下四個(gè)函數(shù)：
①f（x）=x²+2x；
②f（x）=sinx+cosx；
③f（x）=lnx-x；
④f（x）=-xe^x
在（0，

π

2

）上是凸函數(shù)的是

 

．（填序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：對(duì)①②③④分別求二次導(dǎo)數(shù)，逐一排除可得答案．

解答： 解：對(duì)于f（x）=x²+2x，f′（x）=2x+2，f″（x）=2，當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，f″（x）＞0，故不為凸函數(shù)，
對(duì)于f（x）=sinx+cosx，f′（x）=cosx-sinx，f″（x）=-sinx-cosx，當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，f″（x）＜0，故為凸函數(shù)，
對(duì)于f（x）=lnx-x，f′（x）=

1

x

-1，f″（x）=-

1

x2

，當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，f″（x）＜0，故為凸函數(shù)，
對(duì)于f（x）=-xe^x，f′（x）=-e^x-xe^x，f″（x）=）=-e^x-e^x-xe^x，當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，f″（x）＜0，故為凸函數(shù)，
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)公式．屬基礎(chǔ)題．