Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$
（1）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性，并證明你的結論．
（2）求出函數(shù)f（x）在[-3，-1]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$在（-∞，0）上單調(diào)遞增，利用導數(shù)法易證得結論；
（2）由（1）得函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$在[-3，-1]上單調(diào)遞增，分別將x=-3和x=-1代入可得函數(shù)的最小值和最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$在（-∞，0）上單調(diào)遞增，理由如下：
∵f′（x）=$\frac{-2x}{{（1+{x}^{2}）}^{2}}$，
當x∈（-∞，0）時，f′（x）＞0恒成立，
故函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
（2）由（1）得函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$在[-3，-1]上單調(diào)遞增，
故當x=-3時，函數(shù)取最小值$\frac{1}{10}$，當x=-1時，函數(shù)取最大值$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查的知識是，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應用，難度中檔．