Question

19．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且sin2A+sin2B+sin2C=$\frac{1}{2}$，面積S∈[1，2]，則下列不等式一定成立的是（　�。�

• A． （a+b）＞16$\sqrt{2}$
• B． bc（b+c）＞8
• C． 6≤abc≤12
• D． 12≤abc≤24

Answer 1

分析 利用和差化積可得：sin2A+sin2B+sin2C=4sinCsinAsinB，可得sinCsinAsinB=$\frac{1}{8}$，設(shè)外接圓的半徑為R，利用正弦定理可得及S=$\frac{1}{2}absinC$，可得sinAsinBsinC=$\frac{S}{2{R}^{2}}$=$\frac{1}{8}$，即R²=4S，由于面積S滿足1≤S≤2，可得2≤R≤$2\sqrt{2}$，即可判斷出．

解答 解：∵sin2A+sin2B+sin2C=2sin（A+B）cos（A-B）+2sinCcosC=2sinC[cos（A-B）-cos（A+B）]=4sinCsinAsinB，
∴4sinCsinAsinB=$\frac{1}{2}$，即sinCsinAsinB=$\frac{1}{8}$，
設(shè)外接圓的半徑為R，
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R，
由S=$\frac{1}{2}absinC$，
可得sinAsinBsinC=$\frac{S}{2{R}^{2}}$=$\frac{1}{8}$，
即R²=4S，
∵面積S滿足1≤S≤2，
∴4≤R²≤8，即2≤R≤$2\sqrt{2}$，
由sinAsinBsinC=$\frac{1}{8}$可得8≤abc$≤16\sqrt{2}$，顯然選項C，D不一定正確，
A．a(chǎn)b（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16$\sqrt{2}$，不一定正確，
B．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正確，
故選：B．

點評 本題考查了三角函數(shù)和差化積、三角形的面積計算公式、正弦定理、三角形三邊大小關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．