【題目】如圖,點是平行四邊形所在平面外一點, 平面, ,, .
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)
【解析】試題分析:(Ⅰ)設(shè)中點, 交于,連, ,可先證明平面,再證明四邊形是平行四邊形,則,從而平面,進而利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論;(Ⅱ)以, , 所在直線分別為軸, 軸, 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個法向量與平面的一個法向量,利用空間向量夾角余弦公式求解即可.
試題解析:(Ⅰ)證明:取中點,連交于,連, .
在菱形中, ,
∵平面, 平面,
∴,
又, , 平面,
∴平面,
∵, 分別是, 的中點,
∴, ,
又, ,
∴, ,
∴四邊形是平行四邊形,則,
∴平面,
又平面,
∴平面平面.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得平面,則, , 兩兩垂直,以, , 所在直線分別為軸, 軸, 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),則, , , ,
, , ,
設(shè)是平面的一個法向量,則即
取,得, ,∴,
設(shè)是平面的一個法向量,
同理得, .
∴,
∴二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)
(1)若f(x)的圖象與x軸有且僅有一個交點,求b2+c2+2的取值范圍;
(2)在b≥0的條件下,若f(x)的定義域[﹣1,0],值域也是[﹣1,0],符合上述要求的函數(shù)f(x)是否存在?若存在,求出f(x)的表達式,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d∈(0,1),且 =1,當(dāng)n=8時,{an}的前n項和Sn取得最小值,則a1的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某校學(xué)生的視力情況,現(xiàn)采用隨機抽樣的方法從該校的兩班中各抽取名學(xué)生進行視力檢測,檢測的數(shù)據(jù)如下:
班名學(xué)生的視力檢測結(jié)果:
班名學(xué)生的視力檢測結(jié)果:
(Ⅰ)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù),從計算結(jié)果看,哪個班的學(xué)生的視力較好?并計算班的名學(xué)生視力的方差;
(Ⅱ)現(xiàn)從班的上述名學(xué)生中隨機選取名,求這名學(xué)生中至少有名學(xué)生的視力低于的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正三角形所在平面與梯形所在平面垂直, , , 為棱的中點.
(1)求證: 平面;
(2)求證: 平面;
(3)若直線與平面所成角的正切值為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某校隨機抽取100名學(xué)生,獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖:
(Ⅰ)從該校隨機選取一名學(xué)生,試估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于12小時的概率;
(Ⅱ)求頻率分布直方圖中的的值;
(Ⅲ)從閱讀時間在的學(xué)生中任選2人,求恰好有1人閱讀時間在,另1 人閱讀時間在 的概率.
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