【題目】已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)
(1)若f(x)的圖象與x軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn),求b2+c2+2的取值范圍;
(2)在b≥0的條件下,若f(x)的定義域[﹣1,0],值域也是[﹣1,0],符合上述要求的函數(shù)f(x)是否存在?若存在,求出f(x)的表達(dá)式,若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)解:由于f(x)的圖象與x軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn),故△=0,
即△=b2﹣4c=0b2=4c,
則b2+c2+2=c2+4c+2=(c+2)2﹣4≥﹣4;
(2)解:設(shè)符合條件的f(x)存在,
∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=﹣ ,
又b≥0,∴﹣ ≤0.
①當(dāng)﹣ <﹣ ≤0,即0≤b<1時(shí),
函數(shù)x=﹣ 有最小值﹣1,則 或 (舍去).
②當(dāng)﹣1<﹣ ≤﹣ ,即1≤b<2時(shí),則 (舍去)或 (舍去).
③當(dāng)﹣ ≤﹣1,即b≥2時(shí),函數(shù)在[﹣1,0]上單調(diào)遞增,則 ,解得 ,
綜上所述,符合條件的函數(shù)有兩個(gè),
f(x)=x2﹣1或f(x)=x2+2x
【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到判別式△=0,求出b2=4c,代入b2+c2+2,求出其范圍即可;(2)二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b≥0,c∈R)的對(duì)稱軸是x=﹣ ,定義域?yàn)閇﹣1,0],按照對(duì)稱軸在定義域[﹣1,0]內(nèi)、在[﹣1,0]的左邊和在[﹣1,0]的右邊三種情況分別求函數(shù)的值域,令其和題目條件中給出的值域相等,求b和c.
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠家擬在2017年舉行促銷活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)(單位:萬件)與年促銷費(fèi)用(單位:萬元)()滿足( 為常數(shù)),如果不搞促銷活動(dòng),則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件.已知2017年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元.每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).
(1)將2017年該產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位:萬元)表示為年促銷費(fèi)用(單位:萬元)的函數(shù);
(2)該廠家2017年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣1,g(x)=﹣x2+4x﹣3,若有f(a)=g(b),則b的取值范圍為( )
A.
B.(2﹣ ,2+ )
C.[1,3]
D.(1,3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于另一點(diǎn),交軸于點(diǎn), .
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn),連接(為坐標(biāo)原點(diǎn))并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn),求面積的最大值及取最大值時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2016年11月,第十一屆中國(珠海)國際航空航天博覽會(huì)開幕式當(dāng)天,殲-20的首次亮相給觀眾留下了極深的印象.某參賽國展示了最新研制的兩種型號(hào)的無人機(jī),先從參觀人員中隨機(jī)抽取100人對(duì)這兩種型號(hào)的無人機(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià),評(píng)價(jià)分為三個(gè)等級(jí):優(yōu)秀、良好、合格.由統(tǒng)計(jì)信息可知,甲型號(hào)無人機(jī)被評(píng)為優(yōu)秀的頻率為、良好的頻率為;乙型號(hào)無人機(jī)被評(píng)為優(yōu)秀的頻率為,且被評(píng)為良好的頻率是合格的頻率的5倍.
(1) 求這100人中對(duì)乙型號(hào)無人機(jī)評(píng)為優(yōu)秀和良好的人數(shù);
(2) 如果從這100人中按對(duì)甲型號(hào)無人機(jī)的評(píng)價(jià)等級(jí)用分層抽樣的方法抽取5人,然后從其他對(duì)乙型號(hào)無人機(jī)評(píng)優(yōu)秀、良好的人員中各選取1人進(jìn)行座談會(huì),會(huì)后從這7人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)操作體驗(yàn)活動(dòng),求進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)操作體驗(yàn)活動(dòng)的2人都評(píng)優(yōu)秀的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn), 連線的斜率之積為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)點(diǎn), 是軌跡上相異的兩點(diǎn).
(Ⅰ)過點(diǎn), 分別作拋物線的切線, , 與兩條切線相交于點(diǎn),證明: ;
(Ⅱ)若直線與直線的斜率之積為,證明: 為定值,并求出這個(gè)定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列1,a1 , a2 , 9是等差數(shù)列,數(shù)列1,b1 , b2 , b3 , 9是等比數(shù)列,則 的值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是平行四邊形所在平面外一點(diǎn), 平面, ,, .
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某車間共有名工人,隨機(jī)抽取6名,他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù).
(Ⅰ) 根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值;
(Ⅱ) 日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人,根據(jù)莖葉圖推斷該車間名工人中有幾名優(yōu)秀工人;
(Ⅲ) 從該車間名工人中,任取2人,求恰有1名優(yōu)秀工人的概率.
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