Question

2．已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna，a＞1
（1）求證：f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）若函數(shù)y=|f（x）-m|-3有四個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．
（3）若對(duì)于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≤e²-1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a的范圍，確定f′（x）的符號(hào)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：f（x）=m+3和f（x）=m-3各有2個(gè)零點(diǎn)，得到不等式組，解出即可；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性構(gòu)造新函數(shù)，求出f（x）的最大值，得到不等式解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=a^xlna-2x-lna=lna（a^x-1）+2x，
$\begin{array}{l}∵x＞0，a＞1\\∴{a^x}-1＞0，lna＞0\\∴{f^'}（x）＞0\\ f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．\end{array}$
（2）由（1）可知f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=1，
$\begin{array}{l}y=|{f（x）-m}|-3有4個(gè)零點(diǎn)則分f（x）=m+3，f（x）=m-3\\ 各有兩個(gè)零點(diǎn)，\\∴只需\left\{\begin{array}{l}m+3＞1\\ m-3＞1\end{array}\right.∴m＞4\end{array}$
（3）f（x）在（-1，0）↘（0，1）↗，
$\begin{array}{l}f（x）在[{-1，1}]上的最小值可能為f（-1），f（1）\\ f（-1）-f（1）=g（a）=\frac{1}{a}-a+2lna（a＞1）\\∵{g^'}（a）=-\frac{1}{a^2}-1+\frac{2}{a}=\frac{{-{a^2}+2a-1}}{a^2}=\frac{{-{{（a-1）}^2}}}{a^2}＜0\\∴g（a）在（1，+∞）上為減函數(shù)\\ g（a）＜g（1）=0\\∴f（-1）＜f（1）\\∴f{（x）_{max}}=f（1）=a+1-lna\\∴只需a+1-lna≤{e^2}-1，即a-lna≤{e^2}-2\\∴1＜a≤{e^2}\end{array}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，是一道綜合題．