Question

12．設(shè)函數(shù)$f（x）=a-\sqrt{-{x^2}-4x}$和$g（x）=\frac{4}{3}x+1$，已知x∈[-4，0]時恒有f（x）≤g（x），則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-$\frac{13}{3}$]．

Answer 1

分析 已知x∈[-4，0]時恒有f（x）≤g（x），對其進行移項，利用常數(shù)分離法，可以得出a小于等于一個新函數(shù)，求出這個新函數(shù)的最小值即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=a-$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$和$g（x）=\frac{4}{3}x+1$，
已知x∈[-4，0]時恒有f（x）≤g（x），
∴a-$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$≤$\frac{4}{3}$x+1，
∴a≤$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$+$\frac{4}{3}$x+1，
令h（x）=$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$+$\frac{4}{3}$x+1，求出h（x）的最小值即可，
∵$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$≥0，（-4≤x≤0），y=$\frac{4}{3}$x+1在[-4，0]上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=-4時，h（x）取得最小值，
h_min（x）=h（-4）=-$\frac{16}{3}$+1=-$\frac{13}{3}$，
∴a≤-$\frac{13}{3}$．
故答案為：（-∞，-$\frac{13}{3}$]．

點評 此題考查函數(shù)的恒成立問題，解決此題的關(guān)鍵是利用常數(shù)分離法，分離出a，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．