Question

4．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，令f′（x）＜0，求得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間，f′（x）＞0，求得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由（1）可知，f（x）在[1，e]單調(diào)遞增，即可求得f（x）在[1，e]上的最值．

解答 解：（1）由f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，（x＞0），求導(dǎo)f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{x}$，（x＞0），
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間（0，1）；
（2）由（1）可知，當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)x=1時，f（x）取最小值，f（x）min=1，
當(dāng)x=e時，f（x）取最大值，f（x）max=1+$\frac{1}{e}$，
∴函數(shù)f（x）在[1，e]上的最最小值為1，最大值為1+$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及閉區(qū)間的最值，考查導(dǎo)數(shù)的運算，考查計算能力，屬于中檔題．