Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²+（2a+1）x，（a∈R）
（1）當a為何值時，曲線y=f（x）在x=1處的切線與y軸垂直；
（2）討論f（x）的單調性；
（3）當a＜0時，試證明f（x）≤-$\frac{3}{4a}$-2．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由已知可得f′（1）=0，從而求得a的值；
（2）求出原函數(shù)的導函數(shù)，對分子因式分解后討論a的取值，由此可得f（x）的單調性；
（3）由（2）知，當a＜0時，$f（x）_{max}=f（-\frac{1}{2a}）$，把要證明的問題轉化為證$f（x）_{max}≤-（\frac{3}{4a}+2）$，令h（t）=lnt+1-t（t=-$\frac{1}{2a}$＞0），利用導數(shù)證明h（t）≤0即可．

解答 （1）解：f′（x）=$\frac{1}{x}+2ax+（2a+1）$，
∵曲線y=f（x）在x=1處的切線與y軸垂直，
∴f′（1）=0，即1+2a+（2a+1）=0，得a=-$\frac{1}{2}$；
（2）解：f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}+（2a+1）x+1}{x}=\frac{（2ax+1）（x+1）}{x}$（x＞0），
當a≥0時，f′（x）≥0，則f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＜0時，則f（x）在（0，-$\frac{1}{2a}$）上單調遞增，在（$-\frac{1}{2a}$，+∞）單調遞減；
（3）證明：由（2）知，當a＜0時，$f（x）_{max}=f（-\frac{1}{2a}）$．
$f（-\frac{1}{2a}）-（-\frac{3}{4a}+2）=ln（-\frac{1}{2a}）+\frac{1}{2a}+1$，令h（t）=lnt+1-t（t=-$\frac{1}{2a}$＞0），
則h′（t）=$\frac{1}{t}-1=0$，解得t=1．
∴h（t）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）單調遞減．
∴h（t）_max=h（1）=0，∴h（t）≤0，
即$f（x）_{max}≤-（\frac{3}{4a}+2）$，
∴f（x）≤-$\frac{3}{4a}$-2．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．