Question

設(shè)（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ，若展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是70，則a₁+a₂+‥‥+a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：該二項(xiàng)式展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是70，即為二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)為70，若n為偶數(shù)，則

C

n 2 n

=70，若n為奇數(shù)，則

C

n-1 2 n

=

C

n+1 2 n

=70，分別解出它們，再令x=1，即可得到所求值．

解答： 解：該二項(xiàng)式展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是70，
即為二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)為70，
若n為偶數(shù)，則

C

n 2 n

=70，解得，n=8；
若n為奇數(shù)，則

C

n-1 2 n

=

C

n+1 2 n

=70，解得，n無整數(shù)解．
則（1+x）⁸=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ，
則有a₀=1，
令x=1，則有2⁸=a₀+a₁+…+a₈，
則a₁+…+a₈=256-1=255．
故答案為：255．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理及運(yùn)用，考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查賦值法求系數(shù)之和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．