Question

11．已知F₁、F₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過右焦點F₂的直線交橢圓于A、B兩點，且AF₂=2F₂B，tan∠AF₁B=$\frac{3}{4}$，則該橢圓的離心率等于$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，tan∠AF₁B=$\frac{3}{4}$，可得cos∠AF₁B=$\frac{4}{5}$．設(shè)|BF₂|=m，則|AF₂|=2m．由橢圓的定義可得：|AF₁|=2a-2m，|BF₁|=2a-m．在△ABF₁中，由余弦定理可得：$\frac{4}{5}$=cos∠AF₁B=$\frac{（2a-2m）^{2}+（2a-m）^{2}-（3m）^{2}}{2×（2a-2m）（2a-m）}$，化為m=$\frac{a}{3}$．在Rt△AF₁F₂中，利用勾股定理即可得出．

解答 解：如圖所示，
tan∠AF₁B=$\frac{3}{4}$，∴cos∠AF₁B=$\frac{4}{5}$．
設(shè)|BF₂|=m，則|AF₂|=2m．
由橢圓的定義可得：|AF₁|=2a-2m，|BF₁|=2a-m．
在△ABF₁中，由余弦定理可得：$\frac{4}{5}$=cos∠AF₁B=$\frac{（2a-2m）^{2}+（2a-m）^{2}-（3m）^{2}}{2×（2a-2m）（2a-m）}$，
化為m=$\frac{a}{3}$．
∴|AF₁|=2a-2m=$\frac{4a}{3}$，|BF₁|=2a-m$\frac{5a}{3}$，AB=3m=a．
∴$|AB{|}^{2}+|A{F}_{1}{|}^{2}=|B{F}_{1}{|}^{2}$，
∴A=90°．
在Rt△AF₁F₂中，由勾股定理可得：$（\frac{4a}{3}）^{2}+（\frac{2a}{3}）^{2}=4{c}^{2}$，
化為$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$=e．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理與勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．