Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+y²=1，設(shè)AB是過(guò)橢圓C中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上與O不 重合的點(diǎn)．
（1）求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程；
（2）若MO=2OA，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）記M是l與橢圓C的交點(diǎn)，若直線AB的方程為y=kx（k＞0），當(dāng)△AMB面積取最小值時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，可得雙曲線的幾何量，即可求出雙曲線方程；
（2）設(shè)M（x，y），A（m．n），則由題設(shè)知：|$\overrightarrow{OM}$|=2|$\overrightarrow{OA}$|，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OM}$=0，求出坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）設(shè)M（x，y），則A（λy，-λx）（λ∈R，λ≠0），利用S_△AMB=OM•OA，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）橢圓一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)分別為（$\sqrt{7}$，0），（2$\sqrt{2}$，0），…（1分）
所以在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$中，a=$\sqrt{7}$，c=2$\sqrt{2}$，b=1，
因而雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{7}-{y}^{2}=1$．…（4分）
（2）設(shè)M（x，y），A（m．n），則由題設(shè)知：|$\overrightarrow{OM}$|=2|$\overrightarrow{OA}$|，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OM}$=0．
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4（{m}^{2}+{n}^{2}）}\\{mx+ny=0}\end{array}\right.$…（5分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=\frac{1}{4}{y}^{2}}\\{{n}^{2}=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$…（7分）
因?yàn)辄c(diǎn)A（m．n）在橢圓C上，所以$\frac{{m}^{2}}{8}+{n}^{2}$=1，
所以$\frac{（\frac{y}{2}）^{2}}{8}+（\frac{x}{2}）^{2}=1$，
亦即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{32}=1$，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{32}=1$．…（9分）
（3）設(shè)M（x，y），則A（λy，-λx）（λ∈R，λ≠0），
因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓C上，所以λ²（y²+8x²）=8，即${y}^{2}+8{x}^{2}=\frac{8}{{λ}^{2}}$（i）
又$\frac{{x}^{2}}{8}$+y²=1（ ii）
（i）+（ ii）得x²+y²=$\frac{8}{9}$（1+$\frac{1}{{λ}^{2}}$），…（11分）
所以S_△AMB=OM•OA=$\frac{8}{9}（|λ|+\frac{1}{|λ|}）$≥$\frac{16}{9}$．…（14分）
當(dāng)且僅當(dāng)λ=±1（即k_AB=±1）時(shí)，（S_△AMB）_min=$\frac{16}{9}$．
又k＞0，所以AB所在直線方程為y=x．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線、橢圓的方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．