Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a₂=1，且a_n+2-a_n=2ⁿ（n∈N^*），設(shè)b_n=3a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列{b_n}中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）試證明：在數(shù)列{b_n}中，一定存在正整數(shù)k、l（1＜k＜l），使得b₁、b_k、b_l構(gòu)成等差數(shù)列，并求出k、l之間的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由已知的數(shù)列遞推式，分n為偶數(shù)和奇數(shù)利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由b_n=3a_n求出數(shù)列{b_n}的第二、第三、第四項(xiàng)，可得此三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列；
（3）分k，l為奇數(shù)，偶數(shù)，一奇以偶利用等差中項(xiàng)的概念列式證明，并求出使得b₁、b_k、b_l構(gòu)成等差數(shù)列時(shí)k、l之間的關(guān)系．

解答 （1）解：由a_n+2-a_n=2ⁿ（n∈N^*），
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有：${a}_{3}-{a}_{1}={2}^{1}，{a}_{5}-{a}_{3}={2}^{3}，…，{a}_{n}-{a}_{n-2}={2}^{n-2}$，
累加得：${a}_{n}={a}_{1}+（2+{2}^{3}+…+{2}^{n-2}）$=$1+\frac{2（1-{4}^{\frac{n-1}{2}}）}{1-4}=\frac{1}{3}（{2}^{n}+1）$；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有：${a}_{4}-{a}_{2}={2}^{2}，{a}_{6}-{a}_{4}={2}^{4}，…$，${a}_{n}-{a}_{n-2}={2}^{n-2}$，
累加得：${a}_{n}={a}_{2}+（{2}^{2}+{2}^{4}+…+{2}^{n-2}）$=$1+\frac{4（1-{4}^{\frac{n}{2}}）}{1-4}=\frac{1}{3}（{2}^{n}-1）$．
綜上，${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}（{2}^{n}+1），n為奇數(shù)}\\{\frac{1}{3}（{2}^{n}-1），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（2）解：由b_n=3a_n，得b₂=3a₂=3，b₃=3a₃=9，b₄=3a₄=15，
∴數(shù)列{b_n}中，存在連續(xù)三項(xiàng)b₂，b₃，b₄構(gòu)成等差數(shù)列；
（3）證明：若存在正整數(shù)k、l（1＜k＜l），使b₁、b_k、b_l構(gòu)成等差數(shù)列，
則2b_k=b₁+b_l，
若k，l均為奇數(shù)，有$\frac{2}{3}（{2}^{k}+1）=1+\frac{1}{3}（{2}^{l}+1）$，此時(shí)不存在滿足條件的k，l值；
若k，l均為偶數(shù)，有$\frac{2}{3}（{2}^{k}-1）=1+\frac{1}{3}（{2}^{l}-1）$，此時(shí)不存在滿足條件的k，l值；
若k為奇數(shù)，l為偶數(shù)，有$\frac{2}{3}（{2}^{k}+1）=1+\frac{1}{3}（{2}^{l}-1）$，此時(shí)只要k+1=l，就有等式成立；
若k為偶數(shù)，l為奇數(shù)，有$\frac{2}{3}（{2}^{k}-1）=1+\frac{1}{3}（{2}^{l}+1）$，此時(shí)不存在滿足條件的k，l值．
綜上，一定存在正整數(shù)k、l（1＜k＜l），使得b₁、b_k、b_l構(gòu)成等差數(shù)列，此時(shí)k為奇數(shù)，l為偶數(shù)且k+1=l．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，著重考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中高檔題．