Question

如圖所示，點C、M在以AB為直徑的⊙O上，OM∥AC，PA垂直于⊙O所在平面，∠CBA=30°，PA=AB=2，
（1）求證：平面PAC⊥平面PCB；
（2）設二面角M-BP-C的大小為θ，求cosθ的值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）證明BC⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，可得平面PAC⊥平面PCB．
（2）求出S_△PBC、S_△PMB，利用面積比，即可求出二面角M-BP-C的大小．

解答： （1）證明：因為PA⊥平面ABC，
BC?平面ABC，所以PA⊥BC，
因為點C在以AB為直徑的⊙O上，所以BC⊥AC
因為PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC
因為BC?平面PCB，
所以平面PAC⊥平面PCB．
（2）∵∠CBA=30°，PA=AB=2，
∴AC=1，BC=

3

，PC=

5

，
∵BC⊥PC，∴S△PBC=

1

2

×

3

×

5

=

15

2

，
∵OM∥AC，PA垂直于⊙O所在平面，∠CBA=30°，
∴AM²=1+1-2×1×1×cos60°=1，
∴PM=

4+1

=

5

，BM²=1+1-2×1×1×cos120°=3，
∴S_△PMB=

1

2

5

×

3

=

1

2

15

，
∵二面角M-BP-C的大小為θ，
∴利用面積射影定理得cosθ=

15 2

15

=

1

2

．

點評：本題考查面面平行，考查線面垂直，考查面面角，解題的關鍵是掌握面面平行、面面垂直的判定方法，屬于中檔題．