Question

設(shè)f（x）=e^x-ax-a．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≥0對一切x≥-1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）將a=1代入f（x）=e^x-ax-a得：f（x）=e^x-x-1求f（x）的導(dǎo)數(shù)，由f'（x）＞0；f'（x）＜0便可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由f（x）≥0，得a≤

ex

x+1

，（x＞-1），令h（x）=

ex

x+1

，則h′（x）=

xex

(x+1)2

，得h（x）在（-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增，進(jìn)而h（x）≥h（0）=1，（x＞-1），從而求出a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=e^x-x-1，
∴f′（x）=e^x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，
令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（Ⅱ）由f（x）≥0，
得a≤

ex

x+1

，（x＞-1），
令h（x）=

ex

x+1

，則h′（x）=

xex

(x+1)2

，
令h′（x）＞0，解得：x＞0，
令h′（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
∴h（x）在（-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∴h（x）≥h（0）=1，（x＞-1），
∴a≤1，
又x=-1時，（x+1）a≤e^x即為0•a≤e^-1，
此時a取任意值都成立，
綜上得：a≤1．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等關(guān)系，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題．