Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1（n∈N^*）．
（1）設(shè)b_n=a_n-1（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n和前n項(xiàng)和S_n；
（2）設(shè)c_n=

2n

an•an+1

，記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜

1

3

；
（3）求使得T_n＜

m

2014

對(duì)所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題（1）通過題目中的構(gòu)造，得到等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公，式求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n和前n項(xiàng)和S_n，得到本題結(jié)論；（2）通過裂項(xiàng)法求和，從而證明T_n＜

1

3

；（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合不等關(guān)系式，求出最小正整數(shù)m，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵b_n=a_n-1，
∴b_n+1=a_n+1-1，
代入a_n+1=2a_n-1，
得b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是以b₁=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比致列，
∴bn=b1qn-1=2n，
Sn=

b1(1-qn)

1-q

=2ⁿ⁺¹-2．
（2）由（1）知b_n=a_n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ+1，
∴cn=

2n

anan+1

=

2n

(2n+′1)(2n+1+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

．．
∴T_n=（

1

21+1

-

1

22+1

）+（

1

22+1

-

1

23+1

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）
=

1

3

-

1

2n+1

＜

1

3

．
（3）由（2）知，欲使得T n＜

m

2014

對(duì)所有n∈N^*都成立，
只需

m

2014

≥

1

3

即m≥671

1

3

．
故符合條件的最小正整數(shù)m=672．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的方法，本題有一定的綜合性，屬于中檔題．